Download materi transformasi geometri pdf

Oleh karena itu, penulis dengan terbuka dan gembira menerima kritik dan saran dalam rangka penyempurnaan buku ajar ini dimasa dating. Akhir kata Penulis menyampaikan permohonan maaf apabila terdapat kesalahan dan kata-kata yang kurang berkenan dalam buku ajar ini. Deskripsi Mata Kuliah Bab pendahuluan ini mencakup garis besar tentang pengertian dan sejarah geometri transformasi. Dalam bab ini pula, akan dijelaskan mengenai prasyarat mempelajari transformasi, yaitu relasi dan fungsi. Sebelum mempelajari geometri transformasi, mahasiswa perlu mengetahui apakah yang dimaksud dengan geometri transformasi?

Apa urgensi mempelajari geometri transformasi? Geometri transformasi dapat juga disebut geometri gerak. Perkembangan geometri transformasi di awali oleh seorang matematikawan berkebangsaan Jerman yang bernama Felix Klein — Klein berjasa dalam mereformasi pembelajaran geometri.

Pada tahun , Klein menciptakan dan menerbitkan sebuah jurnal yang bernama Erlangen Program. Dalam jurnal ini, Klein menjelaskan bahwa bangun ruang dan bangun datar juga bisa dikembangkan lewat sumbu simetri yang terdapat pada setiap bangun. Dengan teori ini, geometri menjadi sebuah bidang yang tak hanya membicarakan soal sifat-sifat dan pengukuran bangun ruang, tapi juga tentang perubahan yang terjadi pada bangun.

Pada akhirnya, teori ini diakui oleh dunia dan menjadi sebuah pengaruh yang besar bagi perkembangan matematika modern. Budiyono Sebelum mempelajari geometri transformasi, mahasiswa perlu memahami tentang pemetaan pada himpunan bilangan real. Relasi adalah memasangkan satu atau lebih anggota himpunan dengan satu atau lebih anggota himpunan yang lain. Sedangkan fungsi adalah memasangkan setiap anggota suatu himpunan tepat dengan satu anggota himpunan yang lain.

Fungsi sering juga disebut dengan istilah pemetaan, padanan, ataupun mapping. Untuk lebih memahami perbedaan antara relasi dan fungsi, perhatikan contoh berikut: Gambar 1.

Himpunan A dinamakan daerah asal domain dari fungsi , sedangkan himpunan B disebut dengan daerah kawan kodomain sedangkan himpunan dari semua peta di B dinamakan daerah hasil range dari fungsi tersebut. A B a1 f a1 a2 f a2 Gambar Gambar 1. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya range. Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah fungsi injektif sekaligus surjektif. Prasyarat Matakuliah Prasyarat matakuliah adalah matakuliah yang merupakan persyaratan untuk suatu matakuliah yang diprasyarati.

Apabila suatu matakuliah mempunyai matakuliah prasyarat tertentu, maka pengambilannya hanya dibenarkan setelah persyaratannya dipenuhi. Dengan demikian apabila seorang mahasiswa membatalkan suatu matakuliah prasyarat, semua matakuliah yang diprasyarati juga dinyatakan batal.

Pada matakuliah geometri transformasi, mahasiswa diharuskan terlebih dahulu lulus mata kuliah geometri analitik dan aljabar linier. Rencana Pembelajaran Dalam pembelajaran geometri transformasi, mahasiswa diharapkan dapat mengeksplorasi baik secara individu maupun kelompok kemudian didiskusikan dengan teman sejawat.

Adapun peran dosen sebagai fasilitator adalah memastikan mahasiswanya memahami secara jelas dan mendalam serta membantu mahasiswa dalam mengelaborasi geometri transformasi ini. Petunjuk Penggunaan Bahan Ajar 1. Penjelasan bagi mahasiswa Tiap bab Bahan ajar Tangkas Geometri Transformasi ini terdiri dari tiga subbab, yakni pendahuluan, penyajian, dan penutup. Pada subbab pendahuluan, berisi tentang deskripsi materi pembelajaran, relevansi, dan capaian pembelajaran yang harus dicapai oleh mahasiswa.

Dengan bab pendahuluan ini, sebagai bab pembuka agar mahasiswa mengetahui hal-hal yang harus dicapai. Adapun subbab penyajian, berisi uraian materi secara lengkap, pembuktian teorema-teorema disertai dengan contoh. Sedangkan bagian penutup berisi tentang rangkuman materi pembelajaran dan tes formatif. Sebelum pembelajaran di kelas, mahasiswa diharapkan mampu mengeksplorasi secara individual bahan ajar ini kemudian didiskusikan saat tatap mukadi kelas sehingga terjadi pembelajaran yang aktif di dalam kelas 2.

Umpan Balik Aktivitas Belajar Setelah mempelajari setiap bab dalam bahan ajar ini, diberikan umpan balik berupa pemberian tes formatif yang terdiri dari soal uraian. Dalam bahan ajar ini pula disediakan kunci jawaban agar memudahkan mahasiswa dalam mengecek jawabannya. Deskripsi Materi Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia, transformasi mempunyai arti perubahan rupa bentuk, sifat, fungsi, dsb. Dalam sistem koordinat kartesius, untuk memindahkan satu titik atau bangun pada bidang dapat dilakukan dengan menggunakan transformasi.

Jadi, transformasi geometri adalah proses mengubah setiap titik koordinat menjadi titik koordinat lain pada bidang tertentu. Tujuan B. Relevansi Setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan dapat memahami dan membuktikan sifat-sifat sebuah fungsi yang tergolong transformasi atau bukan. Capaian Pembelajaran 1. Materi Pelajaran 1. Transformasi merupakan bagian dari fungsi, oleh sebab itu pemahaman mengenai fungsi menjadi hal yang pentinng. Pemetaan pada bangun geometri disebut sebagai transformasi geometri.

Jadi, transformasi adalah suatu fungsi pada bidang V adalah suatu padanan yang mengaitkan setiap anggota V dengan satu anggota V Rawuh, Fungsi yang demikian dinamakan fungsi pada f. Suatu fungsi yang bijektif adalah sebuah fungsi yang bersifat : 1. Surjektif onto 2.

Injektif satu-satu Surjektif artinya bahwa pada tiap titik ada prapeta. Jadi kalau T suatu transformasi maka ada sehingga. B dinamakan peta dari A oleh T dan A dinamakan prapeta dari B. Jawaban Contoh Soal 2. Syarat fungsi bijektif yaitu memenuhi fungsi surjektif dan fungsi injektif. Langkah pertama akan dibuktikan bahwa surjektif.

Contoh Latihan 2. Apakah Surjektif? Rangkuman Transformasi geometri adalah proses mengubah setiap titik koordinat menjadi titik koordinat lain pada bidang tertentu. Latihan Soal Transformasi Kerjakan soal berikut dengan benar dan tepat: 1 Diketahui sebuah fungsi sumbu pada bidang yang didefinisikan sebagai berikut: Apabila maka. Apakah relasi T merupakan fungsi? Buktikan bahwa X dan Y satu-satunya pasangan yang memenuhi persyaratan 8 Dua garis g dan h tidak sejajar.

A sebuah titik yang tidak terletak pada g dan h. Deskripsi Materi Isometri merupakan suatu transformasi atas refleksi pencerminan , rotasi perputaran , dan translasi pergeseran pada sebuah garis yang mempertahankan jarak. Suatu isometri memiliki sifat-sifat sebagai berikut: 1 Memetakan garis menjadi garis, 2 Mempertahankan ukuran besarnya sudut antara dua garis, dan 3 Mempertahankan kesejajaran dua garis. Relevansi Setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan dapat memahami dan membuktikan mana yang termasuk isometri dan yang bukan serta membuktikan sifat- sifat isometri.

Ini sebagai bekal bagi mahasiswa dalam mempelajari materi refleksi, translasi dan rotasi sehingga dalam mempelahari isometri mahasiswa akan lebih mudah dalam memahami tiga materi tersebut.

Namun sebelum mempelajari materi tentang isometri, mahasiswa harus menguasai materi tentang syarat sebuah transformasi.

Capaian Pembelajaran Mata Kuliah 1. Dalam kamus Bahasa isometri diartikan sebagai kata sifat yang berkenaan dengan atau memiliki ukuran yang sama dengan lainnya. Secara matematis dapat ditentukan sebagai: Misalkan dan , maka T dikatakan suatu isometri jika dan hanya jika Contoh Soal 3.

Selidiki apakah suatu isometri? Pembahasan Contoh Soal 3. Sifat-Sifat Isometri Suatu isometri pada dasarnya memiliki tiga sifat yaitu: 1 memetakan garis ke garis, 2 memetakan besar sudut antara dua garis, dan 3 mengawetkan kesejajaran dua garis.

Sifat-sifat tersebut yang akan dijabarkan dalam teorema sebagai berikut: Teorema 3. Bila T suatu isometri dan s suatu garis, maka adalah suatu garis. Pembuktian Teorema 3. Misal garis t adalah bayangan peta dari s. Karena adalah himpunan semua bayangan dari titik , maka dapat dibuktikan bahwa Ambil titik P di s dan akan ditunjukan terletak di. Seperti pada Gambar 3.

Pada gambar diketahui bahwa , dan. Gambar 3. Terbukti ii Tugas 3. Lakukan seperti pembuktian teorema i Teorema 3.

Sehingga yang benar adalah garis sejajar dengan garis. Jenis Isometri Setelah mengetahui pengertian dari isometri dan sifat-sifatnya.

Terdapat dua jenis isometri yaitu: 1 Memindahkan bangun geometri langsung dari satu posisi ke posisi lain. Suatu pemetaan dikatakan langsung, jika pemetaan tersebut mengawetkan orientasi; yakni apabila arah gerakan benda sama dengan arah gerakan bayangannya, dan sebaliknya suatu pemetaan disebut berlawanan jika pemetaan itu membalikan orientasi; yakni jika arah gerakan benda berlawanan dengan arah gerakan bayangannya. Teorema 3. Ada dua jenis isometri yaitu 1 yang memindahkan bangun geometri langsung dari satu posisi ke posisi lain dan 2 yang memindahkan suatu bangun dengan memutar bangun tersebut.

Rangkuman Isometri merupakan suatu transformasi atas refleksi pencerminan , rotasi perputaran , dan translasi pergeseran pada sebuah garis yang mempertahankan jarak.

Cahya Damayanti, S. Si dkk. Klaten, Jawa Tengah: Viva Pakarindo. Penilaian Hasil Belajar a. Prosedur Penilaian: No 1. Aspek yang dinilai Sikap a. Bekerjasama dalam kegiatan kelompok. Disiplin selama proses pembelajaran maupun saat mengumpulkan tugas. Tanggung jawab dalam menyelesaikan permasalahan yang diberikan. Bekerja keras motivasi internal dalam menyelesaikan permasalahan maupun tugastugas yang diberikan.

Kritis dan kreatif dalam mengajukan atau menjawab pertanyaan. Rasa ingin tahu dalam memahami materi maupun saat menyelesaikan permasalahan. Pengetahuan Tes tertulis 3. Penugasan Diakhir pembelajaran. Tugas disampaikan pada kegiatan penutup, untuk dikumpulan di pertemuan berikutnya. Keterampilan 4. Menyelesaikan masalah kontekstual Pengamatan Saat proses kontekstual yang berkaitan dengan pembelajaran transformasi geometri.

No Aspek yang dinilai. Permasalahan : Cermatilah permasalahan berikut dan diskusikan dengan anggota kelompokmu! Presentasikanlah hasil kerja kelompokmu di depan kelas! Kompetensi Dasar dan Indikator:. Menyelesaikan masalah kontekstual kontekstual yang berkaitan dengan transformasi geometri B.

Kompetensi Dasar. Menyelesaikan masalah kontekstual kontekstual yang berkaitan dengan transformasi geometri C. Menyelesaikan masalah kontekstual kontekstual yang berkaitan dengan transformasi geometri D. Kurang baik jika sama sekali tidak berusaha untuk bekerjasama dalam kegiatan kelompok.

Kurang baik jika sama sekali tidak disiplin dalam kegiatan pembelajaran. Sangat baik jika menunjukkan adanya usaha untuk selalu disiplin dalam kegiatan pembelajaran. Kurang baik jika tidak menunjukkan sama sekali tanggung jawab dalam melaksanakan tugas yang diberikan 2. Kurang baik jika tidak menunjukkan sama sekali sikap bekerja keras motivasi internal dalam menyelesaikan permasalahan maupun tugas-tugas yang diberikan 2. Kurang baik jika tidak menunjukkan sama sekali sikap kritis dalam berpikir saat mengajukan pertanyaan atau memecahkan permasalahan 2.

Bangun objek yang dicerminkan refleksi tidak mengalami perubahan bentuk dan uku- ran. Jarak bangun objek dari cermin cermin datar adalah sama dengan jarak bayangan dengan cermin tersebut. Tentukan bayangan titik tersebut. Refleksi dari titik-titiknya adalah P x. Bangun yang diputar rotasi tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran. Bangun yang diputar rotasi mengalami perubahan posisi.

Tentukan koordinat dari titik tersebut. Tentukanlah persamaan garis setelah dirotasikan. Rotasi dalam hal ini dapat dipahami sebagai memindahkan dari suatu titik e titik yang lain.

Prinsipnya ialah yakni dengan memutar terhadap sudut dan titik pusat tertentu yang memiliki jarak sama dengan setiap titik yang diputar. Dilatasi perkalian Dilatasi disebut juga dengan perbesaran atau pengecilan suatu objek.

Jika dalam transformasi pada translasi, refleksi dan rotasi hanya dengan mengubah posisi benda, maka pada dilatasi melakukan transformasi geometri dengan merubah ukuran bendanya. Ukuran benda yang dapat menjadi lebih besar atau lebih kecil. Perubahan ini bergantung pada skala yang akan menjadi faktor pengalinya.

Misal perhatikan ilustrasi beikut! Rumus Contoh : bayangan titik dari yang didilatasi oleh adalah Jika O adalah pusat koordinat. Transformasi bangun datar By Ruslan Rusln.